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Il Teorema di Arrow, le elezioni e la democrazia

di Andrea Trioni

Pubblicato il

Kenneth_ArrowIl Teorema di Arrow è un’acquisizione importante (Kenneth J. Arrow, insieme a John R. Hicks, vince il premio Nobel per l’Economia nel 1972, e questo risultato è presente in Scelte sociali e valori individuali) nell’ambito dello studio delle decisioni collettive, più precisamente nella questione del trasferimento di preferenze individuali in scelte di una società. In altre parole: qual è la dinamica che porta la scelta che faccio io, alla scelta fatta da un gruppo, una collettività, una nazione, entità composte da alcuni, tanti, tantissimi individui come me?
Le preferenze possono riguardare vari temi di interesse generale, ma è nella realtà politica che vorrei analizzare il Teorema di Arrow.

Si necessitano inizialmente i seguenti componenti:
– l’insieme degli n individui che votano: I = {1, 2, 3, …, n}; si richiede anche n>1;
– l’insieme delle m alternative tra cui un individuo può scegliere: S = {1, 2, 3, …, m}; si richiede anche m>2 (importante);
– ogni individuo, di fronte ad un insieme di scelte, è chiamato a stilare una classifica; indico questa classifica individuale con >i, dove i si riferisce all’individuo i-esimo degli n che costituiscono I.

Ecco, qui si possono introdurre due ipotesi che Arrow ritiene sensato questo modello debba avere:
(1) completezza: nello stilare la sua propria classifica ogni individuo è in grado di dare un giudizio su ogni elemento della lista, cioè sa dire se l’elemento a è meglio, peggio o indifferente rispetto all’elemento b. E così per ogni altro elemento di S, inteso come l’insieme delle alternative;
(2) transitività: se l’individuo i-esimo dice che l’elemento a è meglio del b e b è meglio di c allora a è meglio di c (a>b, b>c allora a>c), cioè le scelte degli individui devono avere una propria coerenza e razionalità: transitività delle scelte.

Ora si ripropone il problema sopra accennato: come passare da tante preferenze individuali a una scelta collettiva, cioè dati {>1, >2, >3, …, >n}, l’insieme delle liste stilate da tutti gli individui di I, come arrivare a una >G (dove G sta per generale), una lista della collettività, detta da Arrow “funzione del benessere sociale”?

Arrow qui introduce altre 4 ipotesi per rendere il modello realmente democratico:
(3) universalità: ogni individuo può scegliere l’ordine di preferenze che vuole (questa condizione ricalca la libertà di espressione e di giudizio); non importa quanto sia irrazionale, stravagante, egoistico: non è permesso a nessuno escludere liste, altrimenti verrebbe meno la sovranità del popolo;
(4) condizione paretiana: se tutti gli individui preferiscono un’alternativa a una seconda, anche la collettività deve seguire lo stesso ordine di preferenze. Quindi sei ogni >i prevede a meglio di b anche >G conterrà che a è meglio di b;
(5) indipendenza dalle alternative irrilevanti: l’ordinamento di due preferenze è indipendente da come vengono classificate le altre; cioè che a sia meglio, peggio o indifferente rispetto a b dipende solo da a e da b non dagli altri elementi (c ad esempio), dalla loro presenza o assenza (se devo scegliere se sia meglio mela o pera, non importa il mio grado di preferenza per la banana);
(6) non dittatorialità: nessun individuo può imporre il proprio ordine di scelte a tutti gli altri individui, cioè nessuna >* può pre-determinare >G indipendentemente dalle altre liste di preferenze >i;

Il Teorema di Arrow stabilisce che non esiste alcuna funzione del benessere sociale, alcuna graduatoria collettiva >G, in grado di soddisfare contemporaneamente le 4 richieste sopra esposte.

Accenno l’ossatura di una dimostrazione del Teorema. Per avere una dimostrazione rigorosa rimando a (link).LEGANERD_046766

(1) Si dice che un insieme D di individui (D sottoinsieme di I) è decisivo per l’alternativa a rispetto all’alternativa b, se e solo se, per tutti gli i di D vale a >i b: cioè basta che gli individui di D preferiscano a a b affinché nella >G a sia preferito a b.
(2) Si dimostra poi che, per ogni coppia di alternative a e b, esiste un insieme decisivo D.
(3) Si dimostra che se l’insieme D è decisivo per l’alternativa a rispetto a b, allora è decisivo per qualsiasi altra coppia di alternative.
(4) Si dimostra poi che se D è un insieme decisivo allora esisterà un sottoinsieme proprio di D, che chiamo D’a sua volta decisivo per quella coppia di scelte.
(5) È evidente che l’insieme I di tutti gli individui è decisivo per qualunque scelta. Se si applica ripetutamente la proposizione sulla riduzione dell’insieme decisivo (4), l’ultimo insieme decisivo che rimane, l’insieme minimale (cioè non ha sottoinsiemi propri decisivi), sarà composto da un solo individuo.
(6) Segue che se l’insieme minimale, che poi determina quello decisivo, è costituito da un solo individuo *, allora * è un dittatore per la coppia di alternative a e b; ma per il punto (3) * è un dittatore anche per tutte le altre alternative.
(7) Si arriva infine ad un assurdo con le ipotesi supposte, quindi il teorema di Arrow è impossibile da soddisfare.

 Una delle vie tentate da Arrow per risolvere questo risultato consiste nel restringere il dominio delle preferenze individuali a un insieme che risponderebbe a requisiti più deboli di quelli inizialmente imposti, consentendo il ricorso al voto di maggioranza. Ma il processo di riduzione porta con sé altre problematiche come il Paradosso di Condorcet (link), la Regola di Borda (link), il Paradosso del Gelataio (link). Insomma un serpente che si mangia la coda.

Quindi, è impossibile soddisfare poche semplici condizioni che, valide contemporaneamente, equivarrebbero a quel che idealmente si intende per democrazia.
Non solo, anche rilassando certe richieste non si può evitare di cadere in paradossi.
Ritengo comunque utile riflettere su questo teorema perché cambia il punto di vista su qualcosa che oggi sembra essere un concetto assodato, chiaro e non contraddittorio, una delle basi della convivenza civile che la storia e gli uomini prima di noi ci hanno consegnato e su cui non possiamo che impostarci per proseguire.

Chiudo con una frase di Churchill, famoso non a caso per la pungente ironia, che nemmeno in questa occasione viene risparmiata:
«È stato detto che la democrazia è la peggior forma di governo, eccezion fatta per tutte quelle forme che si sono sperimentate fino ad ora ».

ilgrandedittatore_immagine

Sitografia:

– http://www.unifi.it/offertaformativa/allegati/uploaded_files/2009/200011/B001250/lezioni%20settimana%2017-%2021%20maggio1.pdf
– http://filosofia.dafist.unige.it/epi/hp/pal/Votazioni86W8.pdf (per la dimostrazione)
– http://www.uniroma2.it/didattica/DdI/deposito/Lezione_061109_Greco.pdf
– http://www2.unipr.it/~saralb74/divulgazione/Il%20Paradosso%20del%20Gelataio.pdf

Immagini:

– http://biografieonline.it/img/bio/k/Kenneth_Arrow.jpg
– http://cdn.leganerd.com/wp-content/uploads/LEGANERD_046766.jpeg
– http://e-fauser.fauser.edu/studenti/cineforum/images/charliechaplin/ilgrandedittatore_immagine.jpg

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